Fração Mista

Observando os numeradores e os denominadores de uma fração, podemos dizer que elas são próprias, impróprias e aparentes. 

Frações próprias são frações onde os denominadores são maiores que os numeradores. 

Frações impróprias são frações onde os numeradores são maiores que os denominadores. 
 

Frações aparentes são frações onde os numeradores são múltiplos dos denominadores. 


Portanto, podemos concluir que as frações aparentes também podem ser frações impróprias. 

Essas frações impróprias possuem uma forma específica de serem representadas, chamada de números mistos. 

Por exemplo: 

Alguns amigos se reuniram para comer pizzas. Eles pediram quatro pizzas do mesmo tamanho: 



Dessas quatro pizzas eles comeram 3: 

A quarta dividiram em 8 pedaços iguais e desses 8 pedaços comeram 2. 



A fração que representa a quantidade de pizzas comidas por todos será uma fração imprópria veja: 

Eles comeram 3 pizzas inteiras mais 2 pedaços de outra que tinha sido repartida em 8 pedaços, em fração isso significaria: 

, como a última pizza foi dividida em 8 pedaços podemos dizer que as outras 3 

também foram divididas em 8, mas com uma diferença: das três pizzas os 8 pedaços foram comidos. Então uma pizza inteira representa  e 3 pizzas inteiras representam . 
Somando a parte inteira com a fração que foi comida da quarta pizza teremos: 



Portanto, a parte da pizza que foi comida pelo grupo de amigos foi  que é uma fração imprópria.  

Essa fração pode ser representada da seguinte forma: 3 2 (três inteiros e dois oitavos) 
                                                                                                         8 
Essa representação é conhecida como número misto. 

Portanto, 
Exemplo de número misto: 

 para transformar em fração imprópria basta seguir um processo prático: 

Repete o denominador e multiplica o seu valor com a parte inteira e soma com o numerador: 

Apostila de PEP - Contabilidade ETEC

Turminha, segue a apostila de PEP para baixar.

Grande abraço

Professor Edson

 http://www.4shared.com/document/I-nBVD5w/PEP.html

Matemática usando o computador

Estudando funções usando o software wimplot para simulação gráfica.

Sistema de Numeração

A numeração escrita nasceu, nas épocas mais primitivas, do desejo de manter registros de gado ou outros bens, com marcas ou traços em paus, pedras, etc., aplicando o princípio da correspondência biunívoca.

Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C..

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Os egípcio usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.

Um exemplo, de um número escrito em símbolos egípcios é dado abaixo:

Escrevemos esse número da esquerda para a direita, embora os egípcios escrevessem em uma ou outra direção, dependendo do documento.

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Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal ( isto é, base 60).

Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:

No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo,

O símbolo para 100 era composto por traços: 

e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

O símbolo  indica 10 vezes 100, isto é, 1000.

Também empregavam, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,

poderia representar o número  , etc.

Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.

A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.

MDC e MMC - Nada de confusão

1. Máximo Divisor Comum
   Atualmente a definição de Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser assim formalizada:Sejam a, b e c números inteiros não nulos, dizemos que c é um divisor comum de a e b se: c divide a (escrevemos c|a) e cdivide b (c|b).
   Denotando-se D(a,b) como sendo o conjunto de todos os divisores comum de a e b, denomina-se Máximo Divisor Comum de ae b o maior de seus divisores comuns, isto é, mdc(a,b) = max {m : m pertença ao conjunto D(a,b)}.
   Como exemplo, vamos calcular o MDC dos números 12 e 18.
   Inicialmente decompomos estes números em seus fatores primos (para encontrar os divisores):
   Agora podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) = {2,3,6}, pois 2|12 e 2|18, 3|12 e 3|18, 6|12 e 6|18.
   Logo pela definição, segue que
   mdc(12,18) = max{i: i pertença à D(12,18)} = max{2,3,6} = 6.
   
2. Mínimo Multiplo Comum
   De modo análogo podemos formalizar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC):
   Sejam a, b e c números inteiros não nulos. Dizemos que c é um múltiplo comum de a e b se: a divide c (a|c) e b divide c (b|c).
   Denotando-se M(a,b) como o conjunto de todos os múltiplos comuns positivos de a e b, Denomina-se Mínimo Múltiplo Comumde a e b, o menor de seus múltiplos positivos comuns, isto é, mmc(a, b) = mim {m : m pertença ao conjunto M(a,b)}.
   Para ilustrar o conceito examinaremos o MMC dos números 12 e 18. Para isso podemos gerar os primeiros múltiplos nos conjuntos de multiplos de ambos:M(12) = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
   M(18) = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... }deste, fazendo a interseção entre ambos os conjuntos obtemos M(12, 18) = { 36, 72, ... }, e portanto
   mmc(12, 18) = mim {i: i pertença à M(12, 18)} = min{ 36, 72, ... } = 36.(note que 12|36 e 18|36).

Números Através de Figuras Geométricas

Os pitagoricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, então elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns números figurados.

números triangulares

números quadrados

números pentagonais

Enunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a números figurados, como era feito pelos pitagóricos:

• Teorema I: O número triangular  é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.

• Teorema II: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

Observamos que um número quadrado na sua forma geométrica, pode ser dividido como na figura abaixo.

Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o enésimo número triangular  , dado pela soma da progressão aritmética,

 ,

seja o enésimo número quadrado  igual à  . Temos

• Teorema III: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1) - ésimo número triangular.

Seja o enésimo número pentagonal,  , dado pela soma de uma progressão aritmética.

• Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n.

Calculando a soma da progressão aritmética, temos:

que demonstra o teorema.

Tales de Mileto - Semelhança de triângulos

Há duas versões para este fato. Hicrônimos, discípulo de Aristóteles, diz que Tales mediu o comprimento da sombra da pirâmide no momento em que nossas sombras são iguais a nossa altura, assim medindo a altura da pirâmide. A de Plutarco diz que fincando uma vara vertical no extremo da sombra projetada pela pirâmide, construímos à sombra projetada da vara, formando no solo dois triângulos semelhantes.

Notamos que neste relato é necessário o conhecimento de teoremas sobre triângulos semelhantes.

Observando o desenho abaixo, a vara colocada no extremo C da sombra da pirâmide forma, com sua sombra, o triângulo DCE que é semelhante ao triângulo ABC.

Medindo as duas sombras e a altura da vara, pode-se determinar então a altura da pirâmide.