Números Através de Figuras Geométricas

Os pitagoricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, então elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns números figurados.

números triangulares

números quadrados

números pentagonais

Enunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a números figurados, como era feito pelos pitagóricos:

• Teorema I: O número triangular  é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.

• Teorema II: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

Observamos que um número quadrado na sua forma geométrica, pode ser dividido como na figura abaixo.

Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o enésimo número triangular  , dado pela soma da progressão aritmética,

 ,

seja o enésimo número quadrado  igual à  . Temos

• Teorema III: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1) - ésimo número triangular.

Seja o enésimo número pentagonal,  , dado pela soma de uma progressão aritmética.

• Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n.

Calculando a soma da progressão aritmética, temos:

que demonstra o teorema.